Puedo quitarle el apellido del padre a mi hijo y ponerle solo el mío?

Hola, tengo mi nene de 4 años y la verdad lo estoy criando yo con mi marido con quien tengo otro hijo. Cuando mi nene de 4 tenía 2 meses me fui de mi casa haciendo abandono de hogar. El supuesto padre de mi hijo me amenazó con que no hable porque quería que mi hijo tenga su apellido, lo anotó a mi nene en otro registro de una ciudad vecina y dando información falsa. Ahora he ido a varios juzgados y demás y nunca supieron decirme nada ni ayudarme ya que este hombre nunca le pasó nada a mi hijo y sigue cobrando asignación por él. La verdad lo que menos me importa es eso, solo quiero que mi hijo lleve mi apellido y que nadie le robe sus derechos. Gracias y espero una respuesta.