¿Como puedo tener la patria potestad entera de mi hijo?

Mi hijo tiene 7 meses y hace 3 meses que el padre ni se aparece.. Quise hacer una conciliación.. Pero la ley le da derecho a llevarlo todo un dia.. Cosa que yo no puedo permitir porque es bebe y es un desconocido para el.. No sabe nada de el..

Se que es dificil sacarle el apellido.. Pero con tiempo lo voy a hacer..

Tiene el primer apellido mio..

Y mis padres quieren viajar a misiones conmigo y los chicos.. La idea es pasar la frontera.. Pero como el padre no se hace cargo y no lo puedo ubicar.. Quisiera saber que tramite puedo hacer? Muchas gracias desde ya y perdón las molestias